偏差値

学生にはおなじみの「偏差値」ですが、あいまいな理解だったので、少し調べてみました。備忘録です。

定義は以下。

　Z = 50 + 10*(x - m)/σ

　ここで、Zが偏差値、xが自分の点数、mが平均点、σが標準偏差です。

つまりは、平均点との差をとることで平均を0に、σで割って10掛けることで標準偏差を10に正規化し、50を足すことで平均を50にしています。ここで、なぜ標準偏差が10で平均が50かっていうと、特に数学的な意味はなく、単にそうした、というもののようです。

ただの正規分布の話になってしまいますが、偏差値60（平均+1σ）なら上位16%に、70（平均+2σ）なら上位3%にいる、ということになります。目安の数字として覚えておくといいですね。

ただし、一般の試験において、平均点は発表されることが多いので知ることができますが、標準偏差は発表されませんし、全員の点数がわからないと計算できないので、上記の定義式では偏差値を算出するのは困難です。

そこで、簡易的な式があります。

　Z' = 50 + (x - m)/2

ZとZ'を比べてみると、σ=20と見なしていることがわかります。これは、一般的にテストはσ=20を目指して設計されることから来ているようです。

これなら平均点がわかれば計算できます。100点満点で、平均点が50点、自分が60点なら、偏差値は55ということです。